Answers to Knot 1

Problem.---- Two travelers spend from 3 o'clock till 9 in walking along a level road, up a hill, and home again: their pace on the level being 4 miles an hour, up hill 3, and down hill 6. Find the distance walked: also (within half an hour) time of reaching top of hill.
Answer.---- 24 miles: half-past 6.

Solution.---- A level mile takes 1/4 of an hour, up hill 1/3, down hill 1/6. Hence to go and return over the same mile, whether on the level or on the hillside, takes 1/2 an hour. Hence in 6 hours they went 12 miles out and 12 back. If the 12 miles out had been nearly all level, they would have taken a little over 3 hours; if nearly all up hill, a little under 4. Hence 3+(1/2) hours must be within 1/2 an hour of the time taken in reaching the peak; thus, as they started at 3, they got there within 1/2 an hour of 1/2 past 6.

Knot 1　答え

問題――２人の旅人が、平坦な道を行き丘を登り、また元に戻ってくるのに３時から９時までかかった。平坦地での速度は時速４マイル、傾斜地の上りは時速３マイル、下りは時速６マイルだったとする。彼らの歩いた距離を求めよ。また、（前後30分以内の幅をもって）頂上到着時刻を答えよ。

正解――24マイル：　６時30分

解法――平坦地では１マイル進むのに 1/4時間、傾斜地上りでは 1/3時間、下りでは 1/6時間かかる。すなわち１マイル往復するには、平坦地でも傾斜地でも 1/2時間かかる。
したがって、６時間のあいだに彼らは行き12マイル、帰り12マイルを歩いた。
もし行き12マイルがほとんど全部平坦だったら、彼らは３時間と少しかかったことになり、もしほとんど全部上り坂だったら、４時間弱かかったことになる。
したがって、彼らは３時に出発したことから、頂上へは６時30分をはさむ前後30分の間に到着した。


訳者による補足
平坦地および傾斜地１マイル往復にかかる 1/2時間は、それぞれ 1/4 + 1/4 と 1/3 + 1/6 によって求められる。

訳者の解答

平坦地往復の平均速度は、１マイルあたり1/4時間。
傾斜地往復の平均速度は、１マイルあたり ((1/3) + (1/6)) ÷ 2 で 1/4時間。したがって、彼らはこの往復全行程を平均して「１マイルあたり 1/4時間」の速さで歩いた。
全行程にかかった時間が６時間だから、6 ÷ (1/4) つまり 24マイルが往復距離。

後半の解き方はLewis Carrollと同じ。
平坦地と傾斜地との割合は不明であることに注意。

行き12マイルが全部平坦だったら 12 × (1/4)つまり３時間で歩けるのだが、少しでも上り坂があるため、必要な時間はそれより必ず多い。
行き12マイルが全部上り坂だったら 12 × (1/3) つまり４時間かかるが、平坦な道が少しでもあるため、必要な時間はそれより少なくなる。
したがって、３時に出発すれば、早ければ６時（わずか過ぎて）、遅ければ７時（わずか前）に頂上に着くことになる。答えは前後に30分の幅をもって、というのだから、真ん中をとって６時30分。

蛇足ながら、行きの最も速い場合ともっとも遅い場合の平均速度を ((1/4 ) + (1/3)) ÷ 2 = 7/24 と出し、これに片道の距離 12（マイル）をかけると 7/2 つまり 3.5時間となって、頂上到着は３時に出発してから３時間半後すなわち６時30分と求められる。しかし、これでは到着推定時刻の幅が出せない。